유체역학27 💧 2-18 압축성 ／비압축성

https://www.youtube.com/channel/UChHMjjSvAX90wotGc72kXIw/join ⇩ FluidMechanics_textbook (유체역학 교과서) ▶https://youtu.be/w9e-A8CZCtY (2nd edition) ▶https://youtu.be/w9e-A8CZCtY (1st edition) ⇩ msharpmath 소프트웨어, 수치해석 교과서 ▶https://youtu.be/TdrvQ2Q7Tls ⇩ Thermodynamics_textbook (열역학 교과서) ▶https://youtu.be/Q7RifDIi1Hk ⇩ HeatTransfer_textbook (열전달 교과서) ▶ https://youtu.be/63u9teOSBes #유체역학 #유체역학 강의 ---------------------------------------------------------- 안녕하세요 피토스터디 입니다 유체역학 27 번 강의입니다 (vrew 자막은 썸네일에) 압축성과 비압축성을 공부 하겠습니다 연속방정식을 어떻게 다룰까에 대해서 네 가지 경우가 화면에 나타나 있습니다 steady, unsteady 그리고 compressible 과 incompressible 에 따라서 총 네 가지 경우가 있는데요 변형하는 콘트롤 볼륨을 제외하면 아주 간단하게 정리 됩니다 이와 같이 세 가지의 경우로 단순화 되고요 특별히 비압축성인 경우에 대해서 상세하게 다루도록 하겠습니다 먼저 연속방정식 부터 시작하겠습니다 앞에서 이미 공부한 것이지만 빠르게 유도 하겠습니다 specific volume, 비체적에 대해서 연속방정식을 쓴 것인데요 가장 중요한 것은 divergence 입니다 volume strain 과 divergence 의 관계는 은행이자와 같다고 했죠 질량미분이 정의되고, 일정 질량 시스템에 대해서 공간보존법칙이 있고요 위의 식으로부터 비체적에 대해서 연속방정식이 volume strain 형태로 주어졌습니다 rho 를 도입해서 질량미분을 대입하고 벡터 연산을 수행합니다 최종적으로 이와 같이 유도한 연속방정식은 미소질량에 대한 질량미분을 전개하고요 앞에서 연구한 palindrome identity를 이용해서 바로 구할 수도 있습니다 연속방정식 이고요 유한한 체적 control volume (CV) 에 대해서도 마찬가지로 palindrome identity를 적용하고요 이와 같은 형태의 연속방정식을 얻을 수 있습니다 그러면 incompressible, 비압축성에 대해서 논의하겠습니다 가장 쉬운 정의는 밀도가 시간과 공간에 관계 없이 항상 일정한 것을 말합니다 일정한 밀도 이므로 비압축성 이겠죠 이것을 연속방정식과 연관 시키면요 rho 가 일정하므로 첫 번째 항은 제로이고요 두 번째 항에서 rho 는 밖으로 빠져 나옵니다 결국 divergence 가 제로가 됩니다 이것은 사실 specific volume 을 이용했을 때는요 연속방정식이 volume strain 과 divergence 이기 때문에 divergence 제로가 바로 얻어 집니다 유도 과정은 다르지만 똑같은 개념입니다 이번에는 일정한 밀도, 비압축성을 control volume 에 대한 연속방정식에 대입하면요 밀도는 일정하므로 밖으로 빠져나오고 최종적으로 이와 같은 결과를 얻습니다 이 세 가지는 모두 동일한 내용이고요 단지 표현만 바뀐 것입니다 비압축성을 좀 더 현실적으로 이야기 하면요 은행 이자율이 0 퍼센트 이기 때문에 체적이 전혀 변하지 않습니다 은행의 돈이 불어나지 않는 것과 똑같은데요 일반 대중의 언어로는 비압축성을 체적이 변하지 않는 것으로 설명하는 것이 맞습니다 풍선이 팽창하면요 체적이 늘어난다고 하지, 밀도가 줄어든다고 하지 않습니다 체적이 늘어나지 않는다는 것은 divergence 가 제로라는 것과 같습니다 밀도와는 전혀 관계 없이 공간좌표 만으로 표현됩니다 지금까지 연속방정식과 관련하여 비압축성만 다뤘는데요 압축성, 그리고 steady, unsteady 를 포함하여 다루도록 하겠습니다 화면에서 1 번과 2 번은 연속방정식입니다 3 번과 4 번은 같은 내용인데요 3 번이 제로가 되면 2 번에 의해서 4 번도 제로가 됩니다 마찬가지로 5 번과 6 번도 같은 내용이므로 한 가지만 다루면 됩니다 먼저 연속방정식은 당연히 가장 일반적인 unsteady, compressible 에 대해서 성립합니다 3 번과 4 번은 incompressible 에 해당하고요 나머지 5 번과 6 번은 steady 인 경우입니다 여기서 컨트롤 볼륨이 변형되지 않는 경우를 추가 하고요 비압축성 이면 밀도가 변하지 않습니다 그러면 왼쪽의 steady 와 같게 됩니다 따라서 비압축성의 첫 번째는 unsteady 가 되고요 두 번째는 steady 가 됩니다 그러면 세 번째 칸은 steady, compressible 이 됩니다 밀도가 일정하면 왼쪽으로 옮겨 가겠네요 이와 같이 총 네 가지의 경우에 대해서 map 을 만들고요 특별히 컨트롤 볼륨이 변형되는 경우만 제외하면 이와 같이 아주 단순하게 정리 됩니다 비압축성 unsteady, steady 에 대해서는 divergence 가 제로 이고요 압축성인 경우에는 편미분에 따라서 unsteady 와 steady 로 구분됩니다 최종 결과는 이와 같이 아주 단순하게 정리 됩니다 마지막으로 control volume 에 대한 비압축성 조건입니다 control volume 이 deformable 변형하는 경우에는 partial derivative 가 제로가 아니겠죠? 간단한 예를 들어보겠습니다 바닷 속에 구형 형태의 망 (net) 이 있고요 이 망의 반지름은 시간에 따라서 선형으로 증가합니다 control volume 이 팽창하면 control volume 안으로 (바닷)물이 자동적으로 유입됩니다 하지만 바닷물은 정지한 상태고요 상대적인 속도가 v 벡터가 됩니다 구의 표면적과 체적을 이용해서 계산을 해 볼까요 반지름의 시간 변화율은 k 가 되고요 공식에 대입 하겠습니다 구의 체적을 시간에 대해서 미분한 것이고요 그렇다면 dA dot v 벡터는요 바깥쪽으로 나가는 벡터와 안쪽으로 들어오는 속도벡터가 dot 해져서 표면적 곱하기 마이너스 k 가 되고요 두 식을 합하면 비압축성 유체에 대한 control volume 조건이 만족 됩니다 시청해 주셔서 감사합니다