REMARQUE IMPORTANTE : cette vidéo sera peut-être déroutante, car contrairement à d'habitude, je montre des choses sans vraiment expliquer ! Lire dessous pour en savoir plus...
Cette vidéo est la première partie d'une série de deux, consacrée à la cohomologie. Ici, je présente surtout des exemples et quelques concepts de base, en utilisant uniquement des dessins et très peu d'équations. On montre d'abord que la cohomologie se rencontre dans des situations quotidiennes, bien qu'un peu artificielles (dénivelés en montagne, taux de change en économie). En mathématiques, elle est bien plus présente, par exemple dans la résolution d'équations différentielles.
Dans la seconde partie de la vidéo, je montre comment des calculs peuvent être effectués en utilisant des règles graphiques, sans aucune équation. On calcule ainsi les groupes de cohomologie pour le plan, le cylindre et la sphère.
Attention, je n'explique pas ce qu'est la cohomologie ici, pour cela il faudra regarder la deuxième partie, ici : [à paraître le 25 novembre]. Un bon exercice peut être, une fois cette deuxième partie visionnée, de revenir ici et de formaliser tous les exemples présentés !
-------------------------------------------------------------------
Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
Discord : https://discord.gg/kRwdRvH
Twitter : https://twitter.com/AntoineBrgt
Mon site personnel : http://www.antoinebourget.org
Tipeee : https://fr.tipeee.com/scientia-egregia/
Kisskissbankbank : https://www.kisskissbankbank.com/en/projects/scientia-egregia
-------------------------------------------------------------------
Références et liens :
L'article de Penrose concernant les figures impossibles : https://www.iri.upc.edu/people/ros/StructuralTopology/ST17/st17-05-a2-ocr.pdf
Une vidéo parlant de ce sujet : https://www.youtube.com/watch?v=PIuJtnq1Wfo
Ma vieille série de vidéos :
- sur l'homotopie (groupe fondamental) : https://www.youtube.com/watch?v=3D6fQ1fdp1o
- sur l'homologie (théorie) : https://www.youtube.com/watch?v=3D6fQ1fdp1o
- sur l'homologie (exemples) : https://www.youtube.com/watch?v=3D6fQ1fdp1o
- sur les formes différentielles : https://www.youtube.com/watch?v=CZ8cT-rUyps
- sur l'utilisation des formes différentielles en physique : https://www.youtube.com/watch?v=f5ZnHKrOuqM
-------------------------------------------------------------------
Plan :
00:00 Début
4:27 Idée de base et exemples simples
11:00 Taux de change
17:45 Intégration des fonctions
24:00 Comparaison avec l'homotopie et l'homologie
30:15 La cohomologie et la dualité
39:45 Cohomologie de de Rham
45:35 Calcul de la cohomologie pour le plan avec un jeu
1:05:30 Cas d'un cylindre
1:12:45 Cohomologie de la sphère