Séance en direct sur les séries divergentes et asymptotiques, la mécanique quantique, et le formalisme de l'intégrale de chemin. Sur le plan mathématique, on s'intéressera au comportement des séries infinies, en particulier des séries entières, et on verra que dans certains cas on peut donner du sens à des séries dont le rayon de convergence est nul. On verra ensuite comment la mécanique quantique dans son formalisme traditionnel, suivant l'équation de Schrödinger, peut être reformulée en terme de somme sur toutes les histoires possibles. Cela nous conduira aux concepts fondamentaux de Lagrangien et d'action. On verra alors que les séries divergentes refont une apparition.
La partie 1 devrait être accessible avec un bon niveau lycée, la partie 2 est plutôt de niveau L1/L2 et la partie 3 plutôt de niveau L3/Master.
Cette vidéo fait suite à la "discussion sur la théorie quantique des champs" : https://www.youtube.com/watch?v=A7gpCb9zkBM
Pour compléter la discussion, j'ai réalisé d'autres vidéos sur des sujets connexes:
- La notion de champ quantique est développée ici : https://www.youtube.com/watch?v=m2B5g3ljJH8
- Les diagrammes de Feynman apparaissent en détail ici : https://www.youtube.com/watch?v=cPL9kiwVxl4
ERRATA : A 2:13:32, pour utiliser les équations aux valeurs propres, il faut utiliser exp(A+B) = exp(A)*exp(B) sauf que les opérateurs ne commutent pas. En fait on peut quand même utiliser cette relation car epsilon tend vers 0 (formule de Trotter-Kato). Merci à darkkevindu6982.
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan
00:00 Début
06:50 Annonce du plan
I) Deux petites histoires
10:40 Histoire numéro 1 : La notion de série
26:13 Histoire numéro 2 : Feynman
II) Séries divergentes, séries asymptotiques
39:10 Une série divergente et une entourloupe
53:10 Comment faire parler une série divergente ?
1:03:00 La solution : les séries asymptotiques
1:10:50 Vérification par le calcul
III) L'intégrale de chemin en mécanique quantique
1:30:00 Annonce du menu
1:35:50 Rappels de mécanique quantique
1:55:40 Intégrales de chemins
2:30:00 Formule finale, action et Lagrangien
2:38:30 Retour à la physique classique
2:52:00 Particule libre
2:58:30 Oscillateur harmonique
3:03:45 Oscillateur anharmonique
3:08:00 Conclusion et questions
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Références
- Field Theory : A Path Integral Approach par Ashok Das
- Quantum Field Theory in a Nutshell par Antony Zee