Troisième volet d'une trilogie centrée principalement sur la théorie de Lie, mais au cours de laquelle on pourra voir tout un tas de choses en algèbre, en géométrie, en combinatoire et en physique. Le plan général pour cette trilogie est :
- Épisode I : Des racines et des poids ( https://www.youtube.com/watch?v=AZcQRDCJgxk )
- Épisode II : La symphonie des sphères ( https://www.youtube.com/watch?v=v2TZahbPaKY )
- Épisode III : Les diagrammes enfouis ( https://www.youtube.com/watch?v=O0Z6bsRzI6w )
Dans cet épisode, on s'intéresse aux octonions et on obtient un superbe théorème de classification.
Les notes pour cette vidéo sont accessibles ici :
http://www.antoinebourget.org/attachments/files/videos/2021_06_19_Lie3-1.pdf
http://www.antoinebourget.org/attachments/files/videos/2021_06_19_Lie3-2.pdf
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Plan
00:00 Introduction
7:45 Historique
21:10 Annonce du plan
1) Les octonions
23:15 Les différents ensembles de nombres
30:42 Propriétés des systèmes de nombres
42:05 Le plan projectif de Fano
50:05 Les droites de plan de Fano
59:31 Multiplication des octonions
1:12:00 Groupe G2
2) Groupes de Lie et diagrammes
1:27:24 Rappels sur les groupes de Lie
1:34:50 Cosinus et angles remarquables
1:43:00 Systèmes de racines
1:57:50 Diagrammes de Dynkin
2:03:50 Théorème Central
3) Classification
2:14:32 Absence de cycles
2:24:50 Pas plus de 3 lignes
2:39:55 Diagrammes interdits
3:01:25 Théorème de classification
3:07:50 Table finale des résultats
3:16:50 Etude de E8
3:30:30 Carré magique de Freudenthal-Tits
3:37:50 Discussion pseudo-philosophique sur la magie exceptionnelle
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Références:
Fulton et Harris, Representation Theory.
Madore, Les octonions sont-ils intéressants (http://www.madore.org/~david/weblog/d.2015-02-03.2276.octonions.html)
Yokota, Exceptional Lie groups (arXiv:0902.0431)
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Errata :
à 1h54min30 j'ai oublié de corriger le carré sur le dernier 2 de la ligne