مقدمة في المتجهات

رياضيات صف ثالث ثانوي الترم الثاني
رياضيات 2-3
حل المتجهات بالالة الحاسبة
Introduction to Vectors By calculator
مقدمة في المتجهات : الحل بالخطوات بالتفصيل وبأكثر من طريقة حل .
الكميات القياسية والكميات المتجهة : يمكن وصف الكثير من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة بقيمة عددية واحدة،
ٍ وعندئذ ُتسمى كم ية قياسية )عددية(، ويدل هذا العدد على مقدار الكمية أو قياسها. أما ال متجه فهو كمية لها
مقدار واتجاه فمثل سرعة الكرة المتجهة نحو المرمى جنوبا تمثل كل من: مقدار سرعة الكرة، واتجاه حركتها، ُ ولذلك تعتبر متجه والعدد المرتبط بمتجه يسمى ا كمية ا متجهة
- تحديد الكميات القياسية والكميات المتجهة
- حدد الكميات المتجهة، والكميات القياسية )العددية( ٍّ في كل مما يأتي:
)aيسير قارب بسرعة 15 mi / hفي اتجاه الجنوب الغربي.
ًا بما أن لهذه الكمية اتجاها، ٌ إذن هي كمية ٌ متجهة.
)bيسير شخص على قدميه بسرعة 75 m / minجهة الغرب.
بما أن لسرعة الشخص قيمة هي ًا ، 75 m/minواتجاها للغرب؛ لذا فهي كمية متجهة.
)cقطعت سيارة مسافة قدرها . 20 km
بما أن لهذه الكمية قيمة وهي ، 20 kmوليس لها اتجاه؛ إذن هذه المسافة كمية قياسية
- حدد الكميات المتجهة ، والكميات القياسية )العددية( ٍّ في كل مما يأتي:
)1Aتسير سيارة بسرعة ، 60 mi / hوبزاوية ° 15جهة الجنوب الشرقي.
ِّ )1Bهبوط مظل ًّ ي رأسيا إلى أسفل بسرعة . 12.5 mi / h
ٍ )1Cطول قطعة ٍ مستقيمة . 5 c
- المتجهات :
ًّ يمكن تمثيل المتجه هندسي ٍ ا بقطعة ٍ مستقيمة لها اتجاه )قط عة مستقيمة متجهة(، أو سهم
ُي ًّ ظهر كل ِّ من المقدار والاتجاه. ويمثل الشكل المجاور القطعة المستقيمة المتجهة التي لها
نقط ة البداية ،Aونقط ة النهاية .Bويرمز لهذا المتجه بالرمز AB أو أو. a
أما طول المتجه فهو عبارة عن طول القطعة المستقيمة التي تمثله، ففي الشكل المجاور، إذا
كان مقياس الرسم هو ،1 cm = 5 ft/sفإن طول المتجه ُ ، aويرمز له بالرمز | ، |aيساوي
. 13 ft/s أو2.6 × 5
يكون المتجه في الوض ع القياسي ّ . إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة الأصل ويعبر
عن اتجاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الأفقي )الاتجاه الموجب للمحور .( x
ًا فمثل: اتجاه المتجه aهو °.
- ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضا باستعمال زاوية الات جاه الربعي φ وتقرأ فاي، وهي
زاوية قياسها بين ° 0و ° 90شرق أو غرب الخط الرأسي )خط شمال – ًا جنوب(. فمثل زاوية
الاتجاه الربعي للمتجه vفي الشكل المجاور هي ° 35جنوب شرق، ُ وتكتب . S 35° E
كما يمكن استعمال زاوية الاتج اه الحقيقي ، ُ حيث ت ًا قاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءا
ُ من الشمال. ويقاس الاتجاه الحقيقي بثلثة أرقام، ًا فمثل ُي ّ كتب الاتجاه الذي يحدد زاوية
قياسها ° 25من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال الاتجاه الحقيقي على الصورة °.
- تمثيل المتجه هندسيا
-ااستعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة:
- استعمل مسطرة ومنقلة؛ ٍّ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة:
. 065° ، باتجاهt = 20 ft/s )2A
. S 25° E ، باتجاهu = 15 mi/h )2B
، m = 60 N )2Cبزاوية قياسها ° 80مع الاتجاه الأفقي
- عند إجرائك العمليات على المتجهات، فإنك تحتاج إلى الأنواع الشائعة
الآتية من المتجهات:
• المتجهات المتوازية لها الاتجاه نفسه، أو اتجاهان متعاكسان، وليس
ًا بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثل في الشكل المجاور
. aǁ bǁ cǁ eǁ f
• المتجهات المتساوية لها الاتجاه نفسه، والطول نفسه. ففي الشكل
المجاور a, c؛ لهما الطول والاتجاه نفساهما، لذا هما متساويان،
َّ ويعبر عنه بالرموز: .a=c
لاحظ أن a ≠ b؛ لأن | a ≠ d , |a| ≠ |b؛ لأن لهما اتجاهين مختلفين.
• المتجهان المتعاكسان لهما الطول نفسه، لكن اتجاهيهما متعاكسان. يكتب المتجه المعاكس للمتجه aعلى
الصورة ، -aففي الشكل المجاور . e
- ايجاد المحصلة
- عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها،و يسمى ّ المح صلة ّ . ويكون لمتجه المحصلة التأثير نفسه الناتج عن
ً تأثير المتجهين الأصليين عند تطبيقهما واحد ّ ا تلو الآخر. ويمكن إيجاد المحص ًّ لة هندسيا باستعمال قاع دة المثلث، أو قاعدة متو ازي الأضلاع
- ايجاد محصلة متجهين
- قطع عبد الله في سباق للمشي، مسافة 120 mباتجاه ، N 50° Eثم مسافة 80 mفي اتجاه
ُ الشرق. كم يبعد عبد الله عن نقطة البداية، وما هي زاوية الاتجاه الربعي؟
- أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية مستعملا قاعدة المثلث، ّ أو متوازي الأضلاع. ثم ّ حدد اتجاهها
بالنسبة للأفقي.
- رمى طفل كرة ًا صغيرة في لعبة مخصصة للأطفال بسرعة 7 in/sباتجاه ° 310 فارتدت
باتجاه ° ، 055وبسرعة . 4 in/sأوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها.
)قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة، والاتجاه إلى أقرب درجة
- عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه، فإن المحصلة هي المتجه الصفري.ويرمز له
ٍ و كذلك يمكن ضرب المتجه في عدد
- ارسم المتجه ، 3x - _3 4 yحيث x, yمتجهان كما في الشكل المجاور.
- تطبيقات علي المتجهات :
- يسمى المتجهان اللذان ناتج جمعهما
المتجه ، rمركب تي . rومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي
اتجاه، ًا إلا أنه من المفيد غالبا تحليل المتجه إلى مركب تين متعامدتين،
واحدة أفقية، والأخر￯ رأسية. ففي الشكل المجاور، يمكن اعتبار
القوة rالمبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية x
تحرك العربة إلى الأمام، ورأسية yتسحب العربة إلى أعلى
- يدفع علي عربة قص العشب بقوة مقدارها ٍ ، 450 Nوبزاوية
قياسها ° 56مع سطح الأرض.
ارسم شكلا ِّ يوضح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين
-أوجد مقدار كل من المركبتين؛ الأفقية والرأسية للقوة.
- يركل لاعب َ كرة ٍ قدم ٍ من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44 ft/sوبزاوية قياسها ° 33مع سطح
الأرض كما في الشكل أدناه
ارسم شكل ِّ يوضح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين.
)Bٍّ أوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة .