Dans cette vidéo, je vous introduis le principe de moindre action qui est à la base de la physique moderne. On regardera ensemble des exemples très simples, à commencer par la chute libre. On verra comment on trouve que les trajectoires sont des paraboles en utilisant un bilan des forces (comme au lycée !), puis on retrouvera ce résultat en minimisant une certaine Action. C'est cette action qui passe alors sur le devant de la scène !
On rendra enfin ce principe plus général et abstrait, formant ce qu'on appelle la mécanique analytique Lagrangienne, avec de jolies structures mathématiques. Il nous faudra en particulier utiliser la structure de fibré tangent, sur lequel la fonction lagrangienne est définie. En guise d'application, nous verrons une version du théorème de Noether qui relie symétries et quantités conservées.
Pour le niveau, le début sera environ bac+1, puis bac+3 pour l'introduction du Lagrangien et bac+5 pour le formalisme mathématique final.
Les notes sont accessibles ici : http://www.antoinebourget.org/attachments/files/videos/2021_11_06_Lagrangian.pdf
La vidéo à laquelle je fais allusion à 3:16:42 est https://www.youtube.com/watch?v=0DHNGtsmmH8
On pourra aussi regarder, pour les aspects historiques, ce documentaire de l'Institut Poincaré : https://www.youtube.com/watch?v=BsYfbhpT1uo
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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00:00 Début
04:50 Plan
Partie 1 : La Physique
08:30 Exemple 1 : La chute libre, trajectoire parabolique
21:40 Exemple 2 : Le pendule simple
34:10 Les idées essentielles, version intuitive
43:00 Introduction du Lagrangien et application à la chute libre
1:04:00 Principe de moindre action
1:11:00 Pourquoi utiliser le Lagrangien ?
1:15:00 Le pendule avec le Lagrangien, les multiplicateurs de Lagrange
1:25:10 Autres exemples physiques
1:31:53 Référentiel tournant, forces d'inertie, de Coriolis
Partie 2 : Les Mathématiques
1:47:50 Système Physique, espace des configurations
1:56:00 Chemins, variations, dérivées
2:06:25 Action et principe de moindre action
2:12:40 Espace tangent, vecteurs tangents
2:22:50 Fibré tangent et dérivée
2:30:45 Coordonnées standard
2:38:20 Equations d'Euler-Lagrange
2:50:30 Lois de conservation
2:52:10 Conservation de l'énergie
3:00:20 Symétries et théorème de Noether
3:16:10 Résumé et conclusion
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Références :
Le contenu de cette vidéo est assez classique, mais il n'y a pas vraiment de source où on peut trouver tout cela d'un coup. Pour un introduction à la physique, très intuitive, on pourra regarder les notes de David Tong :
https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/two.pdf
Pour un traitement plus mathématique, il y a
- Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics
- Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians (chapitre 1).
Pour des détails sur les fibrés tangents, on peut regarder ces notes de cours par Marco Gualtieri :
http://www.math.toronto.edu/mgualt/courses/18-367/docs/DiffGeomNotes-8.pdf